Zoom sur le zome
Cousin stylisé du dôme géodésique, le zome est une autre figure géométrique qui peut être utilisée pour la construction d'habitat.
Je vous propose ici une explication détaillée et sans prérequis pour découvrir nombreux de ses secrets et obtenir les armes pour concevoir le votre !
En avant pour une balade mathématiques !
Une approche constructive.
Pour construire un zome rien de plus simple. On choisit un polygone régulier avec n côtés, on élève le centre de ce n-gone, on trace les triangles partant de ce point et allant jusqu'aux arrêtes du n-gone, on en fait le symétrique pour obtenir des losanges et on répète une opération similaire avec le bas des losanges et boum un zome !
mmm... Pas très clair tout ça ? Oui.
En image c'est mieux !
Faisons un exemple de construction avec n=6 soit un héxagone, le meilleur n-gone !
On démarre en élevant le centre pour créer les premiers losanges.
Ensuite on se base sur le bas des losanges et les points où ils se touchent pour en créer de nouveaux
Bienvenue
On réitère l'étape encore et encore. La figure obtenue va d'abord s'élargir jusqu'à ce que les losanges se retrouvent perpendiculaire à notre plan de départ pour ensuite compléter et refermer symétriquement la figure.
Allez on s'en fait un avec n=12 et on met un de la couleur flashy !
Bienvenue
D'autres exemples :
On y voit plus clair
Alors de quoi a-t-on besoin pour construire notre zome ? Sur quels paramètres peut on jouer pour le définir complètement ? Que choisis-t-on lorsque l'on construit le zome de cette manière ?
On choisit 3 paramètres :
-
"n" le nombre de côté de notre figure de départ
-
la longueur de ces côtés
-
l'élévation (E) ou autrement dit la distance à laquelle on s'éloigne du centre de notre figure de départ.
A noter qu'en réalité c'est le ratio élévation / longueur des côtés du n-gone qui est important car c'est lui qui définit à quel point le zôme sera aplatit ou allongé. Mais dans la réalité on ne peut pas constuire un zome de rayon 1 mètre et demander aux habitants de zoommer 10 fois pour obtenir un réel habitat. Il nous faut pouvoir calculer le rayon réel du zome. On n'est pas des topolgistes quand même !
Autre remarque importante, on obtient cette symétrie parfaite uniquement avec un "n" ou "ordre" pair.
Uniquement les zomes d'ordre pair peuvent être divisé parfaitement selon un équateur.
S'il est impair il n'y aura pas de face verticale qui permettrait de facilement le couper en deux. Il devra alors être tronqué. Les triangles formant la base seront alors inclinés vers l'intérieur ou alors les premiers étages inclinés vers l'extérieur.
Pour la suite on se limitera au zôme d'ordre pair.
Où veut-on aller ?
Ces 3 paramètres ne sont pas utilisables en l'état. Lorsque l'on se lance dans la construction d'un zôme on cherchera à connaitre son empreinte au sol ainsi que sa hauteur et la longueur des arrêtes. En effet, on ne peut aller très loin sans connaitre la longueur des bouts de bois à utiliser.
Partons à la recherche de la hauteur (H), la surface au sol (S) qu'il occupe ainsi que la longueur de ses arrêtes (L) !
Quelques résultats fondamentaux
Première caractéristique fondamental à remarquer : la hauteur entre les étages du zôme est constante !
Si l'on définit des étages comme sur la figure ci dessous on voit facilement qu'un losange donné est étalé de manière symétrique sur deux étages.
Or "l'étalement" du bas d'un losange correspond à "l'étalement" du haut des losanges juste en dessous. De proche en proche on a alors la même hauteur à chaque étage.
Dans notre zôme d'ordre pair il y'a n/2 étage donc H = nE/2
Deuxièmement, les arrêtes ont toutes la même longueur. C'est la différence majeur avec son cousin le dôme géodésique qui lui aura plus de longueurs différentes plus on monte en fréquence.
Cette propriété découle directement du procédé de construction.
Détermination des losanges
Allez on rentre dans le dur, la suite du menu : projection horizontale et sinus !
En entrée, un rappel de trigonométrie et quelques notations pour que l'on se comprenne bien.
Nommons les axes et angles des losanges. Respectivement "A" et "a" pour les horizontaux, "B" et "b" pour les verticaux. On rajoute un petit indice "i" pour indiquer le niveau du losange en partant du haut.
SOH CAH TOA et PYTHAGORE
Cela vous rappelle de bons souvenirs ? Ces formules permettent de relier les angles et les longueurs d'un triangle rectangle, "un triangle avec un angle droit".
Grâce à ces formules on va pouvoir obtenir quelques relations bien utiles dans nos losanges.
Je vais ici préférer l'utilisation des radians aux degrés. Mais pas de panique la conversion est toute simple ! 360 degrés soit un tour complet vaut 2𝝿 radians. Un demi tour vaudra 𝝿 radians et un angle droit, c'est à dire 90 degré vaudra 𝝿/2 rads.
Dernier rappel important : la somme des angles d'un triangle vaut 180° soit 𝝿 radians.
Nous voilà prêt pour la suite !
Pour déterminer la géométrie des losanges de chaque étage ainsi que des triangles de la base nous allons utiliser une projection horizontale, ou plus simplement dit, le zôme vu de dessus.
En le regardant sous cet angle, toutes les longueurs seront distordues SAUF les diagonales horizontales des losanges (Ai) qui conservent leur vraie grandeur.
Or les losanges ont tous les mêmes arrêtes donc si l'on connaît une de leur diagonale on peut entièrement déterminés les losanges du zôme.
Voilà la vue " de dessus" que nous allons utiliser. Dans ce dessin il suffit de connaitre un seul angle pour déterminer tous les autres !
Ça tombe bien, on connait les angles au centre, ceux des premiers losanges ! En effet les losanges du premier niveaux se touchent tous. Ils occupent donc 2𝝿 rads à diviser par "n". pour obtenir l'angle b1.
De proche en proche on peut ainsi calculer les angles des étages suivants.
Vous commencez à voir le motif ? Allez encore une étape avant d'obtenir une formule générale par récurrence.
Et ainsi de suite. Par récurrence on obtient facilement que pour tout i allant de 1 à n/2 :
Sur notre projection horizontale les arrêtes des losanges ont toutes la même longueur, comme en vrai.
Mais celle ci est également déformée. Appelons cette longueur F. Ce coefficient sera très utile car c'est lui qui va déterminer à quel point notre zôme sera aplati ou pointu.
Avec F et la formule précédente pour bi on obtient finalement nos diagonales horizontales Ai qui elles ne sont pas déformés lors de la projection horizontale. Enfin !
Dans la
projection
horizontale !!
Sayez ! On a notre formule générale pour la diagonale horizontale des losanges. On peut ainsi facilement retrouver leurs angles ai et bi réels ainsi que leur deuxième diagonale Bi.
Promis on se fait un récap avec toutes les formules à la fin ! Donc restez jusqu'au bout, le meilleur est encore à venir.
Surface au sol
Commençons avec la surface au sol en la reliant au facteur F. Pour cela on se place dans le plan à la base du zôme. Notons que la formule précédente nous donne pour i = n/2 ( = 6 dans l'exemple ) on a Ai = 2F ce qui est également la longueur des côtés du n-gone à la base du zôme.
Facteur F
Grâce à pythagore, relions le facteur F à nos autres paramètres en se plaçant tout en haut du zôme et en se souvenant que F est la projection horizontale de L.
Une équation pour les gouverner toutes.
On peut égaliser nos deux derniers résultats selon F pour obtenir une jolie équation qui
relit tous nos paramètres. Elle permet par exemple de déterminer la longueur des arrêtes (L) en fonction (H° (n) et (S) comme dans la feuille de calcul en bas de page.
De plus on peut exprimer la surface S en fonction du rayon à la base ( Rb ). Ceci peut être bien utile pour dimensionner les fondations d'un zôme.
Pour ne pas trop surcharger cette page web qui l'est déjà beaucoup trop je renvoie ces équations à la feuille de calculs en bas de page. On s'y retrouve très vite !
FUUUUSION
Angle dièdre et inclinaison
On connait désormais la géométrie de tous les losanges d'un zôme et on peut les paramètrer pour obtenir un zôme de la hauteur et surface au sol que l'on souhaite.
Ceci est suffisant pour construire un zome en reliant les losanges par des cales pour leur donner l'inclinaison nécessaire. Comme ci dessous dans une réalisation d'Artizome.
Notez qu'à l'extérieur les arrêtes des losanges ne sont pas jointives.
Avoir les arrêtes externes jointives facilite la couverture du zome par des toiles, des plaques d'osb ou encore des vitres comme cette réalisation visible au chant des étoiles.
Pour que les losanges soient bien jointifs et ne pas avoir d'arrêtes saillantes selon les lignes de leurs rencontres, il nous faut découper nos poutres avec certains angles ou biseaux. On appelle ça du délignage.
Concernant les dômes géodésiques on retrouve souvent l'appellation "good karma" pour cette méthode.
Ci dessous cette méthode appliquée au premier étage d'un zome.
Crédit : midomo
Qu'est ce que l'on cherche réellement ?
On recherche les angles dièdres entre chaque losanges. Dièdre signifie entre deux plans, les plans formés par deux losanges qui se touchent.
Une fois l'angle dièdre trouvé on peut déligner une même poutre avec la moitié de cet angle pour reconstituer l'arrête correctement en retournant l'un des deux morceaux obtenu et en le collant à l'autre
L'explication en image avec une "vu en bout" c'est à dire de profil d'une arrête entre un losange bleu et violet de ce zôme
Inclinaison des losanges
Pour déterminer les angles dièdres nous avons d'abord besoin de l'inclinaison, la pente, des losanges.
On trouve cela facilement grâce aux plans horizontaux formés par les n-gones de chaque étage.
Allez c'est reparti pour des démonstration bien illustrées ! Pour l'exemple j'utilise un zome 6
Ordre 6 donc 3 étages. En reliant les diagonales horizontales des losanges on obtient 3 plans composés d'hexagones.
Il ne nous reste plus qu'à trouver les angles du triangle grisé dans la dernière image pour obtenir une formule générale pour l'Inclinaison des losanges. Facile avec un peu de trigonométrie !
Concernant les plans horizontaux, remarquons qu'ils s'alignent une fois sur deux et qu'entre deux étages les sommets de l'un vont pointer les milieux des arrêtes du suivant et du précédent. Cela reste vrai pour n'importe quel zome qu'il soit d'ordre pair ou impair.
Angles dièdres
Pour les angles dièdres plaçons nous dans un plan bien particulier de notre zôme.
En voilà un problème qui devrait intéresser les charpentiers ! Ici retrouver l'angle dièdre entre deux losanges du zôme revient à trouver l'angle entre 2 pans de toit sur un bâtiment ayant des angles quelconques.
Pour que cela soit plus facile à visualiser je vais faire la démo avec un cas générique puis on se replacera dans le cas du zome.
Traçons les triangles BCF et ABF. Marquons M le milieu de [AB].
Appelons N la projection orthogonale (càd à angle droit) de M sur [FB].
Appelons O le point qui, projeté orthogonalement sur [FB] coïncide avec N.
Notre objectif est de trouver l'angle MNO !
1ere étape : trouver [MN] et [BN]. Mais pas celui qui fait un clin d'oeil ;).
Pour cela on on utilise l'angle ABF et [AB].
2e étape : trouver [NO]. et [BO]
Pour cela on utilise l'angle CBF et [BN] que l'on a pas encore mangé.
3e étape : trouver [MO].
Pour cela on utilise l'angle ABC, [MB] et [BO] ainsi que le théorème d'Al-Kashi. Pas la peine d'être effrayé par le nom c'est simplement une version généralisée de pythagore :). Remarque : l'angle ABC et MBO sont les mêmes.
Et finalement : Trouver l'angle MNO grâce à nouveau au théorème d'Al-Kashi.
Voilà le cas général. Si l'on se replace dans le plan particulier de notre zôme, on peut utiliser les angles et longueurs trouvés précédemment mais il nous manque encore l'angle ABC !
Encore une fois, avec un peu de trigo on retrouve facilement l'angle ABC.
Il ne reste plus qu'à remplacer les longueurs et les angles par les formules trouvées en 1ere partie ( Ai , Bi, ai, bi, ) et assembler tout ça.
Problème on se retrouve avec des équations à rallonge que je n'ose point afficher ici !
Tout ce chemin parcouru permet de facilement utiliser la feuille de calcul qui arrive très prochainement :).
Le zôme n'a plus de secret pour vous !
Allez hop partez y'a plus rien à voir.... Où alors ?....
Je n'ai pas encore dit mon dernier mot avec le zôme loin de là ! J'ai derrière la tête tout un tas d'idées de zômes préfabriqués, de zômes pliables, courbes ou réalisés avec des panneaux finement décorés ou encore d'un zôme dimensionné selon les europalettes pour réaliser une maison à étage tout en terre et avec de la récup qui suit la courbe de chainette !
Alors si vous voulez en voir plus et m'aider à réaliser ces projets faites appel à moi pour vos chantiers :).